Salut s'il vous plaît j'ai besoin d'aide avec une question à propos de la continuité Données: f est continue sur [0,1] f(0)=f(1)=0 Pour tout x appartenant à [0,

Bonjour,

J'imagine que tu as dans ton cours un théorème qui ressemble à ça

Soient a et b deux réels,

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b] à valeurs dans R.

Si f(a)f(b) [tex]\leq[/tex] 0, alors f s’annule au moins une fois dans [a,b].

ici, f est une fonction continue sur [0,1]

f(0)=f(1)=0 et f(x) [tex]\geq[/tex] 0

Soit n un réel quelconque appartenant à ]0,1[

Définissons sur [0,1-n] la fonction [tex]g_n[/tex] par

[tex]g_n(x)=f(x+n)-f(x)[/tex]

Cette fonction est bien définie sur cet intervalle et g est continue comme somme de fonctions qui le sont.

Or

[tex]g_n(0)=f(n)-f(0)=f(n)\geq 0\\\\g_n(1-n)=f(1)-f(1-n)=-f(1-n)\leq 0 \\\\g_n(0)\times g_n(1-n)\leq 0[/tex]

Donc il existe (au moins) un réel [tex]x_n[/tex] dans [0,1-n] (qui est inclus dans [0,1]) tel que

[tex]g_n(x_n)=0=f(x_n+n)-f(x_n)<=>f(x_n+n)=f(x_n)[/tex]

merci