bonjour, pourriez-vous m’aider à cet exercice? Ajouter 29 à un entier donne un carré. En soustrayant 60 de cet entier, on trouve toujours un carré. Quel est l

Réponse :

Bonjour,

Soient un entier n, un entier a et un entier b,

n + 29 = a²

n - 60 = b²

n + 29 = a² ⇔ n = a² - 29

et n s'écrit aussi :

n - 60 = b² ⇔ n =  b² + 60

n = n , on a alors :

a² - 29 = b² + 60

a² - 29 = b² + 60 ⇔ a² = b² + 89

a² - 29 = b² + 60 ⇔ a² - b² = 89

a² - b² fait penser à une identité remarquable.

a² - 29 = b² + 60 ⇔ (a + b) (a - b) = 89

L'énoncé précise que 89 est un nombre premier.

Pour l'écrire sous forme d'un produit de deux entiers, une seule possibilité :

89 x 1 = 89

Donc on doit avoir :

a + b = 89

et a - b = 1

Pour résoudre ce système, on peut écrire a = b + 1 et remplacer :

a + b = 89 ⇔ (b + 1) + b = 89

a + b = 89 ⇔ 2 b + 1 = 89

a + b = 89 ⇔ 2 b = 88

a + b = 89 ⇔ b = 44

Pour trouver a (non demandé):

a = b + 1 = 44 + 1 = 45

Mais on nous demande de trouver le nombre n.

n - 60 = b² ⇔ n = b² + 60

n = 44² + 60 = (40 + 4)² + 60 = 1600 + 320 + 16 + 60 = 1996

n + 29 = 1996 + 29 = 2025 = 45²

On a trouvé la valeur du nombre cherché : 1996