Bonjour voici un dm de maths Merci de l'aide

Réponse :

1) déterminer g '(2) par lecture graphique

  g '(2) = a = 6/-2 = - 3     "a" étant le coefficient directeur de la tangente

2) calculer g '(x) puis calculer g '(2)

  g  est dérivable sur I = 1 ; + ∞[

    g '(x) = [(- 2 x + 2)(x - 1) - (- x² + 2 x + 1)]/(x - 1)²

             = (- 2 x² + 4 x - 2 + x² - 2 x - 1)/(x - 1)²

          g '(x)  = (- x² + 2 x - 3)/(x - 1)²

  g '(2) = (- 2² + 2*2 - 3)/(2 - 1)² = - 4 + 4 - 3 = - 3

  donc g '(2) = - 3

vérifier la cohérence avec la réponse à la question 1

g '(2) calculé est le même que celui déduit par lecture graphique

4) a) vérifier que pour tout x de I, g(x) = - x + 1  +  2/(x - 1)

          - x + 1  +  2/(x - 1)  = - x(x - 1)/(x - 1)  + (x - 1)/(x - 1)  + 2/(x - 1)

                                       = (- x(x - 1) + (x - 1) + 2)/(x - 1)

                                       = (- x² + x + x - 1 + 2)/(x - 1)

                                       = (- x² + 2 x + 1)/(x - 1) = g(x)

donc pour tout x de I;  g(x) = - x + 1  + 2/(x - 1)

  b) calculer g '(x) avec cette expression et vérifier la cohérence avec la réponse de la question 2

          g '(x) = - 1  +  0  +  (- 2)/(x - 1)²

                   = - (x - 1)²/(x - 1)²   - 2/(x - 1)²

                   = (- (x - 1)² - 2)/(x - 1)²

                   = (- (x² - 2 x + 1) - 2)/(x - 1)²

                   = (- x² + 2 x - 1 - 2)/(x - 1)²

          g '(x) = (- x² + 2 x - 3)/(x - 1)²

on retrouve la même dérivée g '(x) que celle de la question 2  

5)  a) Montrer que T a pour équation réduite  y = - 3 x + 7

           y = g(2) + g '(2)(x - 2)

g '(2) = - 3

g(2) = - 2 + 1  + 2 = 1

     donc   y = 1 - 3(x - 2) = 1 - 3 x + 6 = - 3 x + 7  

    b) démontrer que C est au-dessus de T sur I

            g(x) - y ≥ 0  ⇔ - x + 1  + 2/(x - 1)  - (- 3 x + 7) ≥ 0

          ⇔ - x  + 1   + [2/(x - 1)] + 3 x - 7 ≥ 0

           ⇔ 2 x - 6  + (2/(x - 1)) ≥ 0

            ⇔ ((2 x - 6)(x - 1) + 2)/(x - 1) ≥ 0

               = (2 x² - 8 x + 8)/(x - 1) ≥ 0  

               = 2(x² - 4 x + 4)/(x - 1) ≥ 0

               = 2(x - 2)²/(x - 1) ≥ 0   or 2(x - 2)² ≥ 0  et  x ∈ ]1 ; + ∞[  ⇔ x > 1  donc (x - 1) > 0

donc  g (x) - y ≥ 0  la courbe est au-dessus de T  pour tout x de I

Explications étape par étape