Bonjour, je n’arrive pas à résoudre cette exercice. Est-ce que quelqu’un pourrait m’aider svp !

Réponse :

Re bonjour

Explications étape par étape

Comme déjà dit :

Partie C :

1)

f(x)=(3/4)x+1+(x+1)/x²

Quand x tend vers zéro :

lim (x+1)=1

lim (x+1)/x² = lim 1/0²= +inf

lim f(x)=0+1+inf=+inf

Quand x tend  vers  -inf :

lim (x+1)/x²=lim x/x² = lim 1/x= 0

lim f(x)= -inf+1+0= -inf

Quand x tend  vers  +inf :

lim (x+1)/x²=lim x/x² = lim 1/x= 0

lim f(x)= +inf+1+0= +inf

2)

On va chercher la dérivée de (x+1)/x² d'abord.

De la forme u/v avec :

u=x+1 donc u'=1

v=x² donc v '=2x

Dérivée de (x+1)/x² :

(u'v-uv')/v²=(x²-2x(x+1)) / x^4=(-x²-2x)/x^4=(-x-2)/x^3

Donc :

f '(x)= (3/4) + (-x-2)/x^3

f '(x)=(3/4)-(x+2)/x^3

f '(x)=[3(x^3-4(x+2)] / 4x^3

f '(x)=(3x^3-4x-8)/4x^3

f '(x)=h(x) / 4x^3

3)

Tu vas avoir compte tenu de la partie A avec α ≈ 1.70 :

x------------>-inf............................0.....................α....................+inf

4x^3----------->.............-..................0........+.....................+.......

h(x)----------->.............-.............................-.............0........+...........

f '(x)---------->................+................||.........-...............0.......+..........

f(x)----------->.................C................||.........D............f(α).......C........

C=flèche qui monte

D=flèche qui descend

Tu calcules une valeur approchée de  f(α) ≈ 3.2

4)

a)

f(x)-[(3/4)x+1]=(x+1)/x²

Quand x tend vers -inf ou +inf :

lim (x+1)/x²=lim x/x²=lim 1/x=0

Donc :

Quand  x tend vers - inf ou +inf  :

lim f(x)-[(3/4)x+1}=0

Ce qui prouve que le droite D d'équation y=(3/4)x+1 est asymptote à Cf en l'infini.

b)

On résout :

(3/4)x+(x+1)/x²=(3/4)x+1

qui donne :

(x+1)/x²=0

soit :

x+1=0

x=-1

f(1)=-3/4+1=1/4

Point d'intersection : (-1;1/4)

c)

On a vu que :

f(x)-[(3/4)x+1]=(x+1)/x²

x+1 >  0  ===>x >  -1

Sur [-1;0[ U ]0;+inf :

(x+1)/x² > 0

Donc :

f(x)-[(3/4)x+1] > 0

Donc :

f(x)  > [(3/4)x+1]

Qui prouve que Cf au-dessus de D.

Sur ]-inf;-1] :

(x+1)/x² < 0

Donc :

f(x)-[(3/4)x+1] < 0

Donc :

f(x)  < [(3/4)x+1]

Qui prouve que Cf au-dessous de D.

5)

y=f '(1)(x-1)+f(1)

f '(x)=(3x^3-4x-8)/4x^3

f '(1)=-9/4

f(1)=15/4

y=-(9/4)(x-1)+15/4

y=-(9/4)x+9/4+15/4

y=-(9/4)x+6

Partie  B :

g(x)=ax+b + (x+1)/x²

g(1)=15/4 donne :

a+b + 2=15/4

b=15/4-2-a

b=7/4-a

J'ai fait la dérivée de (x+1)/x² dans la partie C.

g '(x)=a - (x+2)/x^3

qui donne :

g '(1)=a -3

Mais g '(1)=-9/4

Donc :

a-3=-9/4

a=3-9/4

a=3/4

b=7/4-3/4=4/4=1

Donc :

g(x)=(3/4)x+1+(x+1)/x²

Voir  graph joint.

Tu peux remettre ton DM dans un nouveau post en précisant que tu ne veux de réponse que pour la partie A. Si tu as besoin !!