bonsoir tout le monde, j'aimerais beaucoup qu'on m'aide pour mon exo de maths svpp (niveau 1ere) . je vous en supplie et vous remercie énormément !!​

Réponse :

bonjour je vais essayer de te donner une explication. Plaçons dans le repère orthonormé (A; vecAB/6; vecAD/6)

Explications étape par étape

1) les coordonnées des points sont A(0;0); B(6; 0); O(3;3);  M(x;0)  et N(6;x)

pour démonter que OMN  est rectangle- isocèle en O On démontre que OM=ON et que les droites (OM) et(ON) sont perpendiculaires.

OM²=(x-3)²+(0-3)²=x²-6x+9+9=x²-6x+18

ON²=(6-3)²+(x-3)²=9+x²-6x+9=x²-6x+18  

donc OM=ON

coef directeur de (OM)  a=(3-0)/(3-x)=3/(3-x)

coef directeur de (ON)   a'=(x-3)/(6-3)=(x-3)/3=-1(3-x)/3

calculonsle produit a*a'=[-1(3-x)/3]*3/(3-x)=-1

les droites sont perpendiculaires  car a*a'=-1

le triangle OMN est  rectangle isocèle en O.

2) aire OMN=OM*ON/2  comme ON=OM

f(x)=(x²-6x+18)/2=(1/2)[(x-3)²-9+18]=(1/2)(x-3)²+9/2

nota: dans l'énoncé on te donne f(x)=(1/2)(3-x)²+9/2 mais (3-x)²=(x-3)²  

3) c'est f(x)=(1/2)x²-3x+9 (celle qui nous a permis de calculer l'aire du triangle).

4a) f(x) =1/4 de l'aire du carré soit x²/2-3x+9=9

x²/2-3x=0   on factorise x

x(x/2-3)=0  solutions: x=0          M est en A

                                    x=6             M est en B

 4b) f(x)=5   soit x²/2-3x+4=0

delta=9-8=1

x1=(3-1)/1=2  et x2=(3+1)/1=4  

4c) l'aire est minimale quand (1/2)(x-3²)=0 c'est dire pour x=3 et f(x)=9/2=4,5cm²

5)aire BMN=BM*BN/2=(6-x)x/2=-x²/2+3x

Aire OMBN=aireOMN+aireBMN=x²/2-3x+9-x²/2+3x=9

Cette aire est constante donc indépendante de la position du point M