Bonjour je suis en terminal et je n'arrive pas a faire cet exercice dans mon dm. Merci d'avance.​

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1) f(x) est de la forme u/v avec :

u=x²+4x+7 donc u'=2x+4

v=x+3 donc v'=1

f '(x)=(u'v-uv')/v²=[(2x+4)(x+3)-(x²+4x+7)] / (x+3)²

Je te laisse développer le numérateur et à la fin , tu auras :

f '(x)=(x²+6x+5)/(x+3)²

2)

f '(x) est du signe de : x²+6x+5 , qui est < 0 entre les racines car le coeff de x² est > 0.

Δ=b²-4ac=6²-4*1*5=16

√16=4

x1=(-6-4)/2=-5 et x2=(-6+4)/2=-1

Tableau de variation :

x---------->-inf....................-5..................--3..................-1.................+inf

f '(x)------>..................+.........0.........-.........||.........-..........0...........+............

f (x)------>...................C..........-6.......D.......||.........D.......2...........C............

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

3)

a)

Il permet de voir si l'équation f(x)= k a deux solutions ou pas de solution.

b)

Cet  algo n'examine pas les cas où k=2 ou k=-6. Donc pour k=2 ou k=-6, l'algo bloque.

Il faut ajouter un 3ème "si" :

Si k=-6 ou k=2

Afficher une solution

Fin Si

4)

a)

f(x)=ax+b  + c/(x+3)

On réduit au même déno :

f(x)=[(ax+b)(x+3)+c) / (x+3)

Je te laisse développer le numérateur et à la fin , tu auras :

f(x)=[ax²+x(3a+b)+3b+c] / (x+3)

Par identification avec :

f(x)=(x²+4x+7) / (x+3)

On a :

a=1

3a+b=4 ==>b=4-3=1

3b+c=7 ==>c=7-3=4

Donc :

f(x)= x + 1  + 4/(x+3)

b)

Tgte en x=-2 :

y=f '(-2)(x-(-2))+f(2)

f '(-2)=-3 et f(-2)=3

Donc :

y=-3(x+2)+3

y=-3x-3

c)

On résout :

x+1=-3x-3

4x=-4

x=-1 qui donne :

y=-1+1=0 ou y=-3(-1)-3=0

Point d'intersection : (-1;0)

d)

La droite (d) a pour équation : y=x+1

Et f(x)=x + 1 + 4/(x+3)

ce qui donne :

f(x)-(x+1)= 4/ (x+3)

4/(x+3) est du signe de (x+3)

x+3 > 0 pour x > -3

et x+3 < 0 pour x < -3.

Donc :

Sur ]-inf;-3[ :

f(x)-(x+1) < 0 qui donne :

f(x) < (x+1)

Sur ]-inf;-3]  , Cf est au-dessous de (d).

Sur ]-3;+inf[ :

f(x)-(x+1) > 0 qui donne :

f(x) > (x+1)

Sur ]-3;+inf[  , Cf est au-dessus de (d).

BONUS :

f ' (x)=(x²+6x+5) / (x+3)²

Le coeff directeur de (T) est -3.

Il faut donc résodre :

f '(x)=-3 soit :

(x²+6x+5)/ (x+3)²=-3

(x²+6x+5)/ (x²+6x+9) +3=0

On réduit au même dénominateur :

[(x²+6x+5)+3(x²+6x+9)] / (x²+6x+9)=0

Je te laisse développer le numérateur et trouver :

(4x²+24x+32) / (x²+6x+9)=0

Une fraction est nulle si son numé est nul. On résout :

4x²+24x+32

On divise chaque terme par 4 :

x²+6x+8=0

Δ=6²-4*1*8=4 > 0

√4=2

x1=(-6-2)/2=-4

x2=(-6+2)/2=-2

x2 correspond à la tgte (T).

Il existe un autre point de Cf  qui a une tgte // à (T).

C'est le point d'abscisse x=-4.

On peu calculer l'équation (non demandée ) de cette tgte (T').

y=f '(-4)(x+4)+f(-4)

f '(-4)=-3 et f(-4)=-7

y=-3(x+4)-7

(T') ==> y=-3x-19

Je te joins un graph non demandé.