Bonjour mon problème est celui ci Trouver deux entiers dont la somme est égales à 800 et le produit à 135 036 J'ai trouvé le résultat par tâtonnement, ce qui do

Réponse :

Bonjour,

Sans méthode précise, on prend un nombre et on trouve le second en faisant la différence entre 800 et le premier.

Exemple :

Choix : 400

L'autre nombre est 800 - 400 = 400

400 x 400 = 160000

Autre exemple, choix 500.

L'autre nombre 800 - 500 = 300

300 x 500 = 150000

Généralisons en prenant A pour un nombre :

L'autre nombre B vaut 800 - A.

La multiplication s'écrit ainsi :

A x B = A (800 - A) = 800 A - A²

Et comme nous le dit l'énoncé, le produit est égal à 135036.

800 A - A² = 135036

Réorganisons pour avoir un zéro après le signe =.

A² - 800 A + 135036 = 0

Nous avons une équation à résoudre du second degré, A est présent à la puissance 2.

Méthode classique avec le calcul du discriminant :

(-800)² - 4 x 1 x 135036 = 640000 - 540144 = 99856 = 316²

Calcul ensuite des deux solutions :

(-(-800)+316)/(2x1) = (800+316)/2 = 558

(-(-800)-316)/(2x1) = (800-316)/2 = 242

Une solution donne l'autre, on a "dans l'ordre" un nombre A qui peut être égal à 558 et B = 242 ou A = 242 avec B = 558.

Globalement, le lot est composé de 558 et 242.

Deux nombres ont été trouvés.

L'exercice est prévu par le prof de maths pour tomber sur la résolution d'une équation du second degré.

Si l'on avait écrit un premier nombre 400 + X, l'autre aurait été :

800 - (400 + X) = 400 - X

La multiplication prend alors cette forme :

(400 + X) (400 - X)

Identité remarquable remarquée ! (a + b)(a - b) = a² - b²

Réécriture :

(400 + X) (400 - X) = 400² - X²

Une équation se profile :

400² - X² = 135036

On isole facilement X :

X² = 400² - 135036 = 160000 - 135036 = 24964 = 158²

On trouve X = 158 ou X = -158

Pour X = 158 :

400 + X = 400 + 158 = 558

400 - X = 400 - 158 = 242

Pour X = -158 :

400 + X = 400 + (-158) = 242

400 - X = 400 - (-158) = 400 + 158 = 558

Par cet itinéraire rusé, on trouve aussi ces deux nombres sans difficulté.

L'inconnue X n'est pas dispersée dans l'équation, contrairement à l'équation A² - 800 A + 135036 = 0.