X^5+1/x+1 Limx>-1 Svp aidez moi a résoudre cette limite ​

Réponse:

On remarque que -1 est une racine evidente de x⁵+1

on peut donc factoriser le polynome de degré 5 par un polynome de degré 1 et un polynome de degré 4

de sorte que (x+1)(x⁴+ax³+bx²+cx+d) = x⁵+1

developpons :

(x+1)(x⁴+ax³+bx²+cx+d) =

x⁵+ ax⁴ + bx³ + cx² + dx + x⁴ + ax³ + bx² + cx + d =

x⁵ + (a+1)x⁴ + (a+b)x³ + (b+c)x² + (c+d)x + d

Par identification avec les termes de x⁵+1 on a

a+1=0

a+b = 0

b+c=0

c+d=0

d = 1

d'ou

a=-1

b=1

c=-1

d=1

AINSI

x⁵+1 = (x+1)(x⁴-x³+x²-x+1)

et

(x⁵+1)/(x+1) = x⁴-x³+x²-x+1

lim(x⁴-x³+x²-x+1) = 1+1+1+1+1 = 5

x→-1

On peut le verifier sur la representation graphique de f(x) = (x⁵+1)/(x+1)