Bonjour, j'espère que quelqu'un pourra m'aider. Dans l'exercice 2 je bloque à l'hérédité je sais pas trop comment m'y prendre. Et pour l'exercice 3 je sais pas

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

Pour l'exercice 2, je ne peux pas t'aider : tu n'as pas mis l'énoncé.

ex 3:

1)

[tex]j=\dfrac{-1}{2} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} *i=\dfrac{1}{2}(-1+\sqrt{3}*i )\\\\j^2=\dfrac{1}{4}(1-3-2\sqrt{3}*i)=-\dfrac{1}{2}(1+\sqrt{3} *i)\\\\j^3=\dfrac{-1}{4}*(1+\sqrt{3} *i)*(-1+\sqrt{3}*i )=\dfrac{-1}{4}(-3-1)=1\\[/tex]

Comme j^3=1,  j est l'une des racines cubiques de l'unité.

On peut exprimer j^n sous sa forme trigonométrique en utilisant la formule de Moivre par

j^n=1*(cos(2pi*n/3)+i*sin(2pi*n/3) )

ou par une définition fonctionnelle :

j^n=

si n € 3N alors 1

sinon si n € 3N+1 alors 0.5*(-1+i*V3)

sinon -0.5*(1+i*V3)

Je laisse le soin à Olivier de définir J^n de manière plus adéquate ou de supprimer ma réponse .

2)

[tex]j^2+j+1=-\dfrac{1}{2}(1+\sqrt{3} *i)+\dfrac{1}{2}(-1+\sqrt{3}*i )+1=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+1=0\\[/tex]

3)

[tex]j^{2021}=j^2*{j^{673}}^3=j^2*1=j^2\\\\S=1+j+j^2+...+j^{2020}=\dfrac{j^{2021}-1}{j-1} \\\\=\dfrac{j^2-1}{j-1} \\\\=j+1\\\\=\dfrac{1}{2} +\dfrac{\sqrt{3}*i}{2}[/tex]