bonsoir s'il vous plaît aidez-moi dans cette exercice Merci :)​

Bonjour,

Comme n est dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] nous avons deux cas possibles

n est positif et alors

E(n)+E(-n)=n-n=0

n est négatif et alors

E(n)+E(-n)=-n+n=0

Donc pour tout n de [tex]\mathbb{Z}[/tex] , E(n)+E(-n)=0

Maintenant, prenons x dans [tex]\mathbb{R}[/tex], par définition

[tex]E(x)\leq x<E(x)+1 \\\\E(-x)\leq -x<E(-x)+1 \\\\x-1-x-1=-2< E(x)+E(-x)\leq 0[/tex]

Mais comme x n'est pas dans  [tex]\mathbb{Z}[/tex], E(x) est différent de x est donc

[tex]E(x)< x<E(x)+1 \\\\E(-x) < -x<E(-x)+1 \\\\x-1-x-1=-2< E(x)+E(-x)< 0[/tex]

Or E(x)+E(-x) est un entier et un entier relatif strictement compris entre 0 et -2 ça ne peut être que -1

Donc E(x)+E(-x)=-1

Prenons x dans [tex]\mathbb{R}^+[/tex], la fonction carrée est croissante sur ce domaine, donc

[tex]E(x)\leq x<E(x)+1 \\ \\(E(x))^2\leq x^2<(E(x)+1)^2 \\ \\E(x^2)\leq x^2<E(x^2)+1 \\ \\\text{donc } -E(x^2)<1-x^2 \\ \\(E(x))^2-E(x^2)<x^2+1-x^2=1[/tex]

Et l'expression de gauche est un entier relatif, donc cela s'écrit aussi

[tex](E(x))^2-E(x^2)\leq 0 <=> (E(x))^2\leq E(x^2)[/tex]

Soit n dans [tex]\mathbb{Z}[/tex]:

Soit il existe p dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] tel que n=2p

   E(n/2)+E((n+1)/2)=p+E(p+1/2)=p+p=2p=n

Soit il existe p dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] tel que n=2p+1

    E(n/2)+E((n+1)/2)=E(p+1/2)+E(2(p+1)/2)=p+p+1=2p+1=n

Tu peux faire les deux derniers et poste une question si tu bloques

Merci

E(x)<=x et n > 0

nE(x)<=nx

nE(x) est un entier, d'où E(nE(x))=nE(x) donc

E(nE(x))=nE(x)<=E(nx)<=nx

E(x)<=E(nx)/n<=x

partie entière est croissante donc

E(x)<=E[ E(nx)/n ] <= E(x)

on a donc l'égalité

Soit n=E(x), x = n + (x-n)

nous savons que 0<=x-n<1

Soit x-n<1/2 et alors E(x)=n, E(x+1/2)=n, E(2x)=2n et donc E(x)+E(x+1/2)=E(2x)

Soit 1/2<=x-n<1 et alors E(x)=n, E(x+1/2)=n+1, E(2x)=2n+1 et donc E(x)+E(x+1/2)=E(2x)

on a donc l'égalité

Namaste