Bonjour, ce cours vous est proposé par l'équipe de Brainly/Nosdevoirs Matière : Mathématiques Niveau : Seconde Chapitre : Résoudre une équation du deuxième degr

Bonjour,

Nous pouvons utiliser la forme canonique

[tex]ax^2+bx+c=0<=> (x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}[/tex]

Notons

[tex]\large \boxed{\sf \bf \Delta=b^2-4ac}[/tex]

qui est appelé le discriminant de l'équation

• si [tex]\bf \Delta >0[/tex]

   il y a deux solutions distinctes

       [tex]\boxed{\sf \bf \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}[/tex]

Remarque: La somme des racines vaut     [tex]-\dfrac{b}{a}[/tex] et leur produit   [tex]\dfrac{c}{a}[/tex]

• si [tex]\bf \Delta = 0[/tex] il y a une unique solution réelle

        [tex]\boxed{\bf \dfrac{-b}{2a}}[/tex]

• Sinon il n'y a pas de solutions réelles comme un carré ne peut pas être négatif

Exemple 1 (facile)

Résoudre [tex]x^2-4x+3=0[/tex]

1. en utilisant la forme canonique

   [tex]x^2-4x+3=0\\\\ <=> (x-2)^2-4+3=0 \\\\<=> (x-2)^2=1 \\\\<=> x-2=\pm1 \\\\<=> x=1 \ ou \ x =3[/tex]

2. en utilisant le discriminant

   [tex]\Delta = 4^2-4*3=16-12=4=2^2 \\ \\ x=\dfrac{4-2}{2}=1 \ ou \\ \\ x=\dfrac{4+2}{2}=3[/tex]

3. en utilisant la propriété sur la somme et le produit des racines

   Nous cherchons [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] tel que [tex]x_1+x_2 = 4 = 1 + 3[/tex] et [tex]x_1 \times x_2 = 3 = 3*1[/tex]

   3 et 1 conviennent.

Exemple 2 (difficile)

Soit l'équation [tex]x^2+\sqrt{3}x-1=0[/tex]

1. Montrer que cette équation admet deux solutions réelles [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex]

    [tex]\Delta=3+4=7>0[/tex] Donc il y a deux solutions réelles distinctes

2. Calculer [tex]x_1^2+x_2^2[/tex]

   [tex]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\times x_2=(\sqrt{3})^2-2\times (-1)=3+2=5[/tex]

Merci

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