Bonjour je n'arrive pas à comprendre cet exercice. Pouvez-vous m'aider s'il vous plait. Maths niveau 1ère

Bonjour,

Nous pouvons écrire f(x) de la forme

[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]

avec a, b et c réels

f(1)=a+b+c=18

f(-1)=a-b+c=2

[tex]\Delta=b^2-4ac=160[/tex]

L'équation 1 moins l 'équation 2 donne

b + b = 18 - 2 = 16 <=> 2b = 16 <=> b = 8

et a+c = 10 <=> a = 10 - c

Donc la dernière équation devient

[tex]8^2-4(10-c)c=160 \\ \\<=> 64-40c+4c^2=160 \\\\<=> 4c^2-40c-96=4(c+2)(c-12)=0[/tex]

• Soit c = -2 et alors a = 12 et b =8

et dans ce cas le sommet de la parabole est

[tex]f(-b/(2a))=f(-8/24)=f(-1/3)=12 \times {1/3}^2-8\times 1/3 -2\\\\=\dfrac{12-24-18}{9}\\\\=\dfrac{-30}{9}[/tex]

Mais ce n'est pas un entier

• Soit c = 12 et alors a=-2 et b = 8

et dans ce cas le sommet de la parabole est

[tex]f(-b/(2a))=f(8/4)=f(2)=-2 \times 2^2+8\times 2 +12=-8+16+12=20[/tex]

Comme 20 est un nombre entier, c'est le coefficient demandé.

Merci

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour

Un trinôme qui correspond à une parabole est un trinôme du second degré donc s’écrivant :

f(x) = ax^2 + bx + c

Avec les indications on a :

f(1) = 18

f(-1) = 2

[tex]\Delta = 160[/tex]

f(1) = a * 1^2 + b * 1 + c = 18

a + b + c = 18

f(-1) = a * (-1)^2 + b * (-1) + c = 2

a - b + c = 2

[tex]\Delta = b^2 - 4 * ac = 160[/tex]

Avec les 2 premières équations on peut déterminer le b en les soustrayant :

a + b + c - a + b - c = 18 - 2

2b = 16

b = 16/2

b = 8

f(x) = ax^2 + 8x + c

Donc : à + c = 10

a = 10 - c

[tex]\Delta = 8^2 - 4 * ac = 160[/tex]

64 - 4ac = 160

4ac = 64 - 160

ac = -96/4

ac = -24

On remplace à :

(10 - c)c = -24

10c - c^2 = -24

c^2 - 10c - 24 = 0

[tex]\Delta = (-10)^{2} - 4 * 1 * (-24) = 100 + 96 = 196[/tex]

[tex]\sqrt{\Delta} = 14[/tex]

C1 = (10 - 14)/2 = -4/2 = -2

C2 = (10 + 14)/2 = 24/2 = 12

Donc à1 = 10 - C1 = 10 - (-2) = 12

a2 = 10 - C2 = 10 - 12 = (-2)

f(x) = 12x^2 + 8x - 2

Ou

f(x) = -2x^2 + 8x + 12

Pour déterminer le sommet de la parabole :

S [x = -b/2a ; y = f(-b/2a)]

1ère equation :

x = -8/(2 * 12) = -8/24 = -1/3

y = f(-1/3) = 12 * (-1/3)^2 + 8 * (-1/3) - 2

y = 12 * 1/9 - 8/3 - 2

y = 12/9 - 8/3 - 6/3

y = 4/3 - 14/3

y = -10/3 => pas un entier donc non

2eme équation :

x = -8/(2 * (-2)) = -8/(-4) = 2

y = f(2) = -2 * 2^2 + 8 * 2 + 12

y = -2 * 4 + 16 + 12

y = -8 + 28

y = 20

S (2 ; 20)

La parabole a pour équation :

f(x) -2x^2 + 8x + 12

Et le codage est l’ordonnée sur sommet soit : 20