SVP J ai besoin d aide Montrer que pour tous entiers a et b, ab(a²−b²) est divisible par 3.

Bonjour,

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Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

1)

a²-b²=(a+b)(a-b)

2)

ab(a²-b²)= ab(a+b)(a-b)

3)

pour que ab(a²-b²) soit divisible par 3

alors

a×b×(a+b)×(a-b)  est divisible par 3

d'où

a divisible par 3  et ab(a²-b²) est divisible par 3

ou

b divisible par 3 et ab(a²-b²) est divisible par 3

si ni a et b divisible par 3 alors

il faut que

(a+b) ou (a-b) divisible par 3

a n'est pas divisible par 3 alors

      a=3q1+1      a=3q1+2

b n'est pas divisible par 3

      b= 3q2+1     b=3q2+2

possibilité 1

a= 3q1+1   b= 3q2+1

a-b  (3q1+1)-(3q2+1)     3q1+1-3q1-2   3q1-3q2    3(q1-q2)   divisible par 3

possibilité2

a=3q1+1  b=3q2+2

a+b  (3q1+1)+(3q2+2)   3q1+3q2+1+2  3q1+3q2+3    3(q1+q2+1)   divisible par3

possibilité 3

a=3q1+2  b=3q2+1

a+b   (3q1+2)+(3q2+1)   3q1+3q2+1+2  3q1+3q2+3   3(q1+q2+1)    divisible par3

possibilité 4

a=3q1+2  b=3q2+2

a-b   (3q1+2)-(3q2+2)  3q1+2-3q2-2 3q1-3q2  3(q1-q2)   divisible par 3

on a donc démontré que

quelque soit les nombres

1) a est divisible par 3  ab(a²-b²) est divisible par 3

2)

si a n'est pas divisible par 3

et b est divisible par 3  ab(a²-b²) est divisible par 3

3)

si ni a et b divisible par 3

nous avons au moins

(a+b) ou (a-b) divisible par 3

donc ab(a²-b²) est divisible par 3