1)Déterminer les limites de f en - 1 et en +infini de f(x) = e^x/1+x 2)etudier les variations de f sur]-1;+infini[. Présenter le résultat sous forme de tableau

Bonjour,

1)

En [tex]+\infty[/tex], nous savons du cours que

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty[/tex]

Comme

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} (1+1/x)=1[/tex]

On a

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x(1+1/x)}=+\infty[/tex]

d'où la limite de f en [tex]+\infty[/tex] qui est [tex]+\infty[/tex]

Pour x > -1, 1+x>0 f(x) > 0 et

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^+} \dfrac{e^x}{1+x}=+\infty[/tex]

2)

f est dérivable pour x>-1

et pour x > -1

[tex]f'(x)=\dfrac{(1+x)e^x-e^x}{(1+x)^2}=\dfrac{xe^x}{(1+x)^2}[/tex]

Donc pour -1 < x <0 f'(x) < 0, f est strictement décroissante

f'(0)=0

pour 0 < x f est strictement croissante

f(0)=1

Il ne reste plus qu'à faire le tableau avec toutes ces infos.

Merci