bo soir besoin d'aide s'il vous plaît dans cette implication Mq pour tout (x,y) appartien au R*^2 : (la photos ) ​

Bonjour,

Supposons que 2x+4y=1

<=> 2x=1-4y

[tex]<=> x=\dfrac{1-4y}{2}[/tex]

Et ainsi

[tex]x^2+y^2=\dfrac{(1-4y)^2}{4}+\dfrac{4y^2}{4}=\dfrac{20y^2-8y+1}{4}[/tex]

Que pouvons-nous dire de [tex]20y^2-8y+1[/tex] ?

[tex]20y^2-8y+1=20(y^2-\dfrac{8}{20}y)+1\\\\=20(y-\dfrac{1}{5})^2-\dfrac{20}{25}+1\\\\=20(y-\dfrac{1}{5})^2+\dfrac{25-20}{25}\\\\=20(y-\dfrac{1}{5})^2+\dfrac{5}{25}\\\\=20(y-\dfrac{1}{5})^2+\dfrac{1}{5}[/tex]

Et comme un carré est toujours positif

[tex]20y^2-8y+1\geq \dfrac{1}{5}[/tex]

et donc

[tex]x^2+y^2\geq \dfrac{1}{4\times 5} =\dfrac{1}{20}\\ \\<=> \dfrac{1}{x^2+y^2}\leq 20[/tex]

Merci